带外部源的临界Hermitian矩阵模型与布尔斯纳系层

我们考虑一个维数为2n的随机Hermitian矩阵模型，其外部源定义为概率密度函数\n$$\frac{1}{Z_{2n}} |\det(M)|^{\alpha} e^{-2n\mathrm{Tr} (V(M) - AM)}, \quad V(x) = \frac{x^4}{4} - t\frac{x^2}{2},$$其中外部源A的两个特征值均为±a，重数相等。我们研究当n→∞时，M特征值在0附近的局部统计量在特定临界情形下的极限行为。当参数t和a位于一条临界曲线上，即极限均值特征值密度在|x|^{1/3}处消失时，相关核的双重缩放极限由与布尔斯纳方程相关联的函数构成。当α=0时，新的极限核化为经典的Pearcey核。此外，在多重临界情况下，当极限均值特征值密度在|x|^{5/3}处消失时，极限核由布尔斯纳层次的第二成员构成。我们通过将随机矩阵模型转化为类似于Muttalib-Borodin集合的双正交集合，然后通过向量Riemann-Hilbert问题分析其渐近行为来推导上述结果。