硬边随机矩阵系综的高斯扰动

我们研究形式为 $S=M+\epsilon H$ 的随机厄米 $n\times n$ 矩阵的特征值关联，其中 $H$ 为 GUE 矩阵，$\epsilon>0$，$M$ 为独立于 $H$ 的正定厄米随机矩阵，其特征值密度为多项式系综。我们证明，若 $\epsilon$ 与 $n\to +\infty$ 一起以依赖于随机矩阵 $M$ 的临界速度趋于 $0$，则 $S$ 在 $0$ 附近的特征值微观行为存在软边到硬边的转变。在双缩放极限下，我们得到一族新的极限特征值关联核。我们将一般结果应用于以下情形：(i) $M$ 为拉盖尔/维什特随机矩阵，(ii) $M=G^*G$，$G$ 为吉尼布雷矩阵的乘积，(iii) $M=T^*T$，$T$ 为哈尔分布酉矩阵截断的乘积，(iv) $M$ 的特征值服从 Muttalib-Borodin 双正交系综。