酉随机矩阵系综中的临界边缘行为与第三十四 Painlevé 超越函数

我们描述了一类新的酉不变随机矩阵系综的普适类。它出现在随机 $n \times n$ 厄米矩阵系综 $Z_{n,N}^{-1} |\det M|^{2\alpha} e^{-N \Tr V(M)} dM$（其中 $\alpha > -1/2$）的双尺度极限中，因子 $|\det M|^{2\alpha}$ 导致了原点附近的临界本征值行为。在假设与 $V$ 相关的极限平均本征值密度是正则的，且原点是其支集的右端点的条件下，我们计算了当 $n, N \to \infty$ 且满足 $n^{2/3}(n/N-1) = O(1)$ 时的双尺度极限下的本征值关联核。我们使用了针对关于权函数 $|x|^{2\alpha} e^{-NV(x)}$ 正交的多项式的黎曼 - 希尔伯特问题的 Deift-Zhou 最速下降法。我们的主要关注点是通过与 Painlevé XXXIV 方程的一个特定解相关的 $\psi$-函数，构造原点附近的局部参数阵 (parametrix)。该解与 Painlevé II 方程的一个特定解有关，但不同于通常的 Hastings-McLeod 解。