带外源的的高斯随机矩阵的大n极限，第三部分：双标度极限

我们考虑定义在 $n\times n$ 厄米矩阵上的带外源随机矩阵系综 $\frac{1}{Z_n} e^{-n \Tr({1/2}M^2 -AM)} dM$ 的双标度极限，其中 $A$ 是一个对角矩阵，具有两个重数相等的特征值 $\pm a$。当 $a=1$ 时为临界值，因为随着 $n \to \infty$，对于 $a > 1$ 矩阵 $M$ 的特征值聚集在两个区间上，而对于 $0 < a < 1$ 则聚集在一个区间上。这两种情形已在第一部分与第二部中处理，我们证明了局部特征值关联具有酉随机矩阵系综中已知的普适极限行为。对于临界情形 $a=1$，出现了新的极限行为，如Br\'ezin与Hikami以及Tracy与Widom所揭示的，该行为用Pearcey积分描述。我们通过将Deift/Zhou最速下降法应用于一个 $3 \times 3$ 矩阵值的黎曼-希尔伯特问题来确立这一结果，该问题涉及由Pearcey积分构造局部参数化。我们通过修正一个底层黎曼曲面，解决了将局部Pearcey参数化与全局外部参数化相匹配这一主要技术问题。