厄米随机矩阵的近极值特征值与第一间隙

我们研究了随机矩阵理论中高斯酉系综（GUE）的随机 $N \times N$ 矩阵最大特征值 $\lambda_{\max}$ 附近的“拥挤”现象。我们关注两个不同的量：(i) $\lambda_{\max}$ 附近的态密度（DOS）$\rho_{\rm DOS}(r,N)$，即位于距 $\lambda_{\max}$ 距离 $r$ 处的特征值的平均密度；(ii) 前两个最大特征值之间间隙的概率密度函数 $p_{\rm GAP}(r,N)$。在由非常规正交多项式系统的双重整化极限描述的边缘缩放极限（其中 $r = {\cal O}(N^{-1/6})$）下，我们表明 $\rho_{\rm DOS}(r,N)$ 和 $p_{\rm GAP}(r,N)$ 由缩放函数表征，这些函数可以用与 Painlev\'e XXXIV 方程相关的 Lax 对的解来表示。这为间隙分布提供了一种替代且更简单的表达式，该分布最近由 Witte、Bornemann 和 Forrester 在 Nonlinearity 26, 1799 (2013) 中进行了研究。我们的表达式允许获得这些缩放函数在小参数和大参数下的精确渐近行为。