大型 Cauchy 随机矩阵最大特征值的大偏差

我们解析计算了 $N\times N$ 矩阵旋转不变 Cauchy 系综中最大特征值 $\lambda_{\max}$ 的概率密度函数 (pdf)。我们考虑了此类重尾随机矩阵的酉 ($\beta = 2$)、正交 ($\beta =1$) 和辛 ($\beta=4$) 系综。我们表明，$\lambda_{\max} \sim \mathcal{O}(N)$ 的中心非高斯区域两侧均存在大偏差尾部，我们在此对任意 $\beta$ 值精确计算了这些尾部。通过将这些尾部与中心区域匹配，我们获得了中心区域中 pdf 的精确主导渐近行为，这推广了已知用于高斯系综的 Tracy-Widom 分布，适用于小和大参数以及任意 $\beta$。我们的解析结果得到了数值模拟的证实。