广义 Cauchy 随机矩阵系综最大特征值的标度极限与收敛速度

本文研究被称为广义 Cauchy 系综 $GCy$ 的 Hermitian 随机矩阵系综最大特征值的渐近性质，其特征值 PDF 为 $$\textrm{const}\cdot\prod_{1\leq j<k\leq N}(x_j-x_k)^2\prod_{j=1}^N (1+ix_j)^{-s-N}(1-ix_j)^{-\bar{s}-N}dx_j,$$其中 $s$ 为满足 $\Re(s)>-1/2$ 的复数，$N$ 为矩阵系综的大小。利用 Borodin 和 Olshanski \cite{Borodin-Olshanski} 的结果，我们首先证明对于该系综，当 $\Re(s)>-1/2$ 时，最大特征值除以 $N$ 依分布收敛于某个概率分布。利用 Forrester 和 Witte \cite{Forrester-Witte2} 关于固定 $N$ 时最大特征值分布的结果，我们还用某个非线性二阶微分方程表示了极限概率分布。最后，我们证明重新标度后的最大特征值的概率分布函数向极限分布的收敛速度至少为 $(1/N)$ 阶。