非高斯随机矩阵及其乘积的实特征值

我们研究实随机矩阵及其乘积的特征值性质。已知当矩阵元素为高斯分布独立随机变量时，实特征值的分数随着乘积中矩阵数量的增加趋于1。这里我们给出数值证据，表明该现象对于矩阵元素的概率分布是鲁棒的，因此是一个值得详细研究的一般性质。由于乘积矩阵的元素不再像单矩阵元素那样分布，也不再是独立随机变量，我们详细研究这两个因素的作用。我们数值研究了矩阵的Hadamard（或Schur）乘积，以及元素独立但边际分布与矩阵正常乘积相同的矩阵乘积，发现经过重复乘法，所有特征值为实的概率在两种情况下都增加，但饱和到低于1的常数，表明矩阵元素间的相关性是趋于1的原因。为研究概率分布的非高斯性质的作用，我们对几种标准分布的$2 \times 2$单矩阵给出彻底的分析处理。在零均值有限方差的光滑分布类中，我们的结果表明高斯分布具有最大的实特征值概率，但无限方差的柯西分布被发现具有比正态更大的实特征值概率。我们还发现对于二维单矩阵，实特征值概率在[5/8,7/8]范围内。