实随机矩阵乘积的所有特征值均为实数的概率趋于 1

本文研究固定尺寸的实随机矩阵乘积。设 $A_1,A_2, \dots$ 为独立同分布的 $k \times k$ 实矩阵，其元素独立且服从概率测度 $\mu$。令 $X_n = A_1A_2\dots A_n$。则有猜想：$$\mathbb{P}(X_n \text{ 的所有特征值均为实数}) \rightarrow 1 \text{ 当 } n \rightarrow \infty.$$ 我们证明，当 $\mu$ 具有原子时，该猜想成立。