带小秩外源的随机厄米矩阵谱：超临界与亚临界区域

带源项的随机厄米矩阵出现在例如非相交布朗行走 \cite{Adler:2009a, Daems:2007} 和样本协方差矩阵 \cite{Baik:2005} 的研究中。我们考虑 $n\times n$ 外源矩阵具有两个不同实特征值的情形：重数为 $r$ 的 $a$ 和重数为 $n-r$ 的零。源是小的，因为 $r$ 是有限的或 $r=\mathcal O(n^\gamma)$，其中 $0<\gamma<1$。对于高斯势，P\'ech\'e \cite{Peche:2006} 表明，当 $|a|$ 足够小时（亚临界区域），外源对特征值没有主导阶效应；而当 $|a|$ 足够大时（超临界区域），$r$ 个特征值离开谱的体部，行为如同 $r\times r$ 高斯幺正系综 (GUE) 的特征值。我们建立了这些结果在超临界和亚临界区域中对一般解析势类的普适性。