带外源的随机矩阵与多重正交多项式

我们证明，随机厄米矩阵系综 $Z_n^{-1} \exp(-Tr(V(M)-AM))dM$ 的平均特征多项式 $P_n(z) = E [\det(zI-M)]$ 由依赖于外源 $A$ 的特征值的多重正交条件刻画。对 $A$ 的每个特征值 $a_j$，若 $n_j$ 为 $a_j$ 的重数，则存在一个权，且 $P_n$ 关于该权满足 $n_j$ 个正交条件。如 Zinn-Justin 所证，特征值关联函数具有行列式形式。此处我们给出核的另一表达式。在 $A$ 有两个相异特征值时，我们推导出一个 Christoffel-Darboux 公式，由此得到由多重正交多项式满足的黎曼-希尔伯特问题表述的紧凑公式。