对称 Pollaczek 多项式的 Shannon 熵

我们讨论当 $w$ 为 $[-1,1]$ 上主参数 $\lambda\geq 1$ 的对称 Pollaczek 权函数，且 $p_n$ 为相应 $n$ 次标准正交多项式时，熵积分 $$E_n= - \int_{-1}^1 \log \big(p^2_n(x) \big) p^2_n(x) w(x) d x,$$ 与 $$F_n = -\int_{-1}^1 \log (p_n^2(x)w(x)) p_n^2(x) w(x) dx,$$ 的渐近性态（当 $n\to \infty$）。众所周知，$w$ 不属于 Szeg\H{o} 类，这尤其意味着 $E_n\to -\infty$。对于该序列，我们给出了渐近展开的前两项。此外，我们证明 $F_n \to \log (\pi)-1$，表明这一“普适性态”可延拓至 Szeg\H{o} 类之外。$E_n$ 的渐近性态还可借由与 $p_n$ 相关的两个测度序列的互能量得到一种有趣的解释。