具有非奇异核的平移和函数极大值的交错性

在先前论文中，我们研究了所谓的平移和函数 $F({\mathbf{x}},t):=J(t)+\sum_{j=1}^n \nu_j K(t-x_j)$，其中 $J:[0,1]\to \underline{\mathbb{R}}:={\mathbb{R}}\cup\{-\infty\}$ 是一个“充分非退化”且有上界的“场函数”，而 $K:[-1,1]\to \underline{\mathbb{R}}$ 是一个固定的“核函数”，在 $(-1,0)$ 和 $(0,1)$ 上均凹，并且满足奇异性条件 $K(0)=\lim_{t\to 0} K(t)=-\infty$。对于节点系统 ${\mathbf{x}}:=(x_1,\ldots,x_n)$（其中 $x_0:=0\le x_1\le\dots\le x_n\le 1=:x_{n+1}$），我们分析了局部极大值向量 ${\mathbf{m}}:=(m_0,m_1,\ldots,m_n)$ 的行为，其中 $m_j:=m_j({\mathbf{x}}):=\sup_{x_j\le t\le x_{j+1}} F({\mathbf{x}},t)$。在其他结果中，我们证明了一个强交错性质：若核函数在 $(-1,0)$ 上递减且在 $(0,1)$ 上递增，且场函数上半连续，则对任意两个不同的节点系统，存在 $i,j$ 使得 $m_i({\mathbf{x}})<m_i({\mathbf{y}})$ 且 $m_j({\mathbf{x}})>m_j({\mathbf{y}})$。本文我们部分成功地将此性质推广到甚至非奇异核的情形。