实轴上平移和的同胚定理

本文研究实轴上的平移和。这些函数是加权代数多项式对数的一般化。具体而言，我们关注以下函数\n\n$$F(\mathbf{y},t) := J(t) + \sum \limits_{j=1}^n K_j(t-y_j), \quad \mathbf{y} := (y_1,\ldots,y_n), \ y_1 \le \ldots \le y_n,$$\n\n其中场函数 $J$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上的函数，对于 $K_1,\ldots,K_n$ 在 $(-\infty,0)$ 和 $(0,\infty)$ 上的凹函数，且在 $0$ 处具有奇异点。我们考虑"局部最大值"\n\begin{gather*} \begin{aligned} m_0(\mathbf{y}) & := \sup \limits_{t \in (-\infty, y_1]} F(\mathbf{y}, t), \quad m_n(\mathbf{y}) := \sup \limits_{t \in [y_n, \infty)} F(\mathbf{y}, t),\\ m_j(\mathbf{y}) & := \sup \limits_{t \in [y_j, y_{j+1}]} F(\mathbf{y}, t), \quad j = 1,\ldots,n-1, \end{aligned} \end{gather*}\n\n以及差分函数\n$$D(\mathbf{y}) := (m_1(\mathbf{y})-m_0(\mathbf{y}), m_2(\mathbf{y})-m_1(\mathbf{y}),\ldots,m_n(\mathbf{y})-m_{n-1}(\mathbf{y})).$$\n\n我们证明了在核函数的单调性假设下，$D$ 是其定义域到 $\mathbb{R}^n$ 上的同胚。