自由非交换函数的局部理论：芽、亚纯函数与Hermite插值

自由分析是通常函数理论的量子化，正如算子空间理论是经典泛函分析的量子化。自由分析的基本对象是是非交换函数。这些是定义在任意大小矩阵元组上的映射，保持直和与相似。本文研究非交换函数的局部理论。第一个主要结果表明，对于标量点$Y$，关于$Y$的一致解析非交换芽的环$O_Y$是一个整环并容许一个泛斜域分式域，其元素称为亚纯芽。一个推论是连接矩阵$A$在$O_Y$上矩阵求值的秩与$A$在$O_Y$上因式分解的局部-全局秩原理。对于半单非标量矩阵元组$Y$则出现不同现象。此处表明$O_Y$包含由$Y$生成的矩阵代数的副本。特别地，存在定义在$Y$邻域内的非零幂零一致解析函数，且$O_Y$不能嵌入斜域。尽管如此，环$O_Y$被描述为关于$Y$处零化理想的自由代数的完备化。这是第二个主要结果（自由Hermite插值定理）的推论：若$f$为非交换函数，则对任意有限半单点集和自然数为$L$，存在非交换多项式在所选点处与$f$一致到$L$阶微分。所有所得结果对（非一致）解析芽和形式芽也有类似结论。