自由域：零因子、Atiyah 性质与通过无界算子的实现

我们在两种情形下考虑非交换有理函数以及非交换变量中多项式的矩阵：在代数情形下，变量是形式变量，其有理函数生成“自由域”；在分析情形下，变量由有限 von Neumann 代数中的算子给出，且有理函数问题在无界附属算子的框架内处理。我们的主要结果表明，对于一类“好”的算子——即自由熵维数极大的那些算子——分析理论与代数理论是同构的。这特别地意味着，任何非平凡有理函数都可对该类好元组作为无界算子求值，且这些算子没有零因子。在矩阵一侧，这意味着在无界算子上可逆的自由域中的多项式矩阵，当我们代入好算子元组时，作为矩阵也是可逆的。我们还探讨了这与强 Atiyah 性质的关联。上述结果为具有极大自由熵维数的算子元组的零因子（或相应分布中的原子）问题给出了相当完整的图景。我们还就分布的密度之存在性与正则性问题给出了若干部分结果。