自由随机变量的普适性：非交换有理函数的原子

考虑迹算子代数设定中一组具有各自预定特征空间大小的 Normal 算子 $(Y_1,\dots,Y_d)$。我们探讨对于任意非交换多项式 $P(Y_1,\dots,Y_d)$ 能就其特征空间大小给出何种结论。我们证明对每个多项式 $P$ 都存在不可避免的特征空间，其出现于任意边际具有预定特征空间的 $(Y_1,\dots,Y_d)$ 对应的 $P(Y_1,\dots,Y_d)$ 中。我们将从代数角度——由自由斜域上矩阵实现与秩计算给出——与解析角度——由分布中具有预定原子的自由独立随机变量给出——描述这一极小情形。后者对应于该极小情形的事实使得我们能对自由变量多项式中的原子得出许多新结论。特别地，我们给出了自由对易子与自由反对易子中原子的完整刻画。此外，我们的结果不仅适用于多项式，更一般地也适用于非交换有理函数。由于许多随机矩阵模型在大 $N$ 极限下渐近自由，我们的结果使我们可以计算随机旋转矩阵中多项式与有理函数渐近特征值分布的原子位置与大小。