确定性矩阵与独立同分布Haar酉矩阵中非交换多项式的算子范数

设 $U^N = (U_1^N,\dots, U^N_p)$ 为一组 $N\times N$ 独立Haar酉矩阵, $Z^{NM}$ 为 $\mathbb{M}_N(\mathbb{C})\otimes \mathbb{M}_M(\mathbb{C})$ 中任意确定性矩阵族。令 $P$ 为一自伴非交换多项式。1998年,Voiculescu证明了该多项式在Haar酉矩阵与确定性矩阵中取值的特征值经验测度收敛于一个由自由概率论定义的确定性测度。现令 $f$ 为光滑函数,本文的主要技术结果是对 $$\frac{1}{MN} \text{Tr}\left( f(P(U^N\otimes I_M,Z^{NM})) \right)$$ 的期望与其当 $N$ 趋于无穷时极限之差的精确界。若 $f$ 七次可微,我们证明其为 $M^2 \left\Vert f\right\Vert_{\mathcal{C}^7} N^{-2}$ 所界。作为推论,我们获得了Collins与Male一结果的新证明并带定量界,该结果给出了多项式在Haar酉矩阵与确定性矩阵中取值的算子范数几乎必然收敛于其自由极限的充分条件。实际上我们表明,若 $U^N$ 与 $Y^{M_N}$ 独立且 $M_N = o(N^{1/3})$,则几乎必然地,任意 $(U^N\otimes I_{M_N}, I_N\otimes Y^{M_N})$ 中多项式的范数几乎必然收敛于其自由极限。