确定性矩阵与独立同分布 GUE 矩阵多项式中光滑函数的渐近展开

设 $X^N$ 为一族 $N\times N$ 独立 GUE 随机矩阵，$Z^N$ 为一族确定性矩阵，$P$ 为一个自伴非交换多项式，即对任意 $N$，$P(X^N)$ 是自伴的，$f$ 为一个光滑函数。我们证明对任意 $k$，若 $f$ 足够光滑，则存在确定性常数 $\alpha_i^P(f,Z^N)$ 使得 $$\mathbb{E}\left[\frac{1}{N}\text{Tr}\left( f(P(X^N,Z^N)) \right)\right]\ =\ \sum_{i=0}^k \frac{\alpha_i^P(f,Z^N)}{N^{2i}}\ +\ \mathcal{O}(N^{-2k-2}) .$$ 此外，常数 $\alpha_i^P(f,Z^N)$ 借助自由概率显式构造。特别地，若 $x$ 为自由半圆形系统，则当 $f$ 的支撑与 $P(x,Z^N)$ 的谱不相交时，对所有 $i$ 有 $\alpha_i^P(f,Z^N)=0$。作为推论，我们证明给定 $\alpha<1/2$，对足够大的 $N$，$P(X^N,Z^N)$ 的每个特征值都 $N^{-\alpha}$-接近于 $P(x,Z^N)$ 的谱。