关于大独立随机矩阵中多项式的离群特征值

给定两个非交换自伴不定元中的自伴多项式 $P(X,Y)$，我们研究随机矩阵 $P(A\_N,B\_N)$ 的渐近特征值行为，其中 $A\_N$ 和 $B\_N$ 是独立的 Hermitian 随机矩阵，且 $B\_N$ 的分布在中幺正算符共轭下不变。我们假设 $A\_N$ 和 $B\_N$ 的经验特征值分布几乎必然分别收敛到确定性概率测度 $\mu$ 和 $\nu$。此外，假设 $A\_N$ 和 $B\_N$ 的特征值几乎必然一致收敛到 $\mu$ 和 $\nu$ 的支撑，除了 $A\_N$ 的有限个固定特征值(尖峰)之外。已知几乎必然地 $P(A\_N,B\_N)$ 的特征值的经验分布收敛到某个确定性概率测度 $\eta$ (有时记为 $\eta=P^\square(\mu,\nu)$)，并且当没有尖峰时，$P(A\_N,B\_N)$ 的特征值几乎必然一致收敛到 $\eta$ 的支撑。当存在尖峰时，我们证明 $P(A\_N,B\_N)$ 的特征值仍然一致收敛到 $\eta$ 的支撑，可能的例外是某些孤立的离群点，其位置可由 $\mu,\nu,P$ 以及 $A\_N$ 的尖峰确定。当 $B\_N$ 被 Wigner 矩阵替代时，我们建立了类似的结果。离群点与尖峰之间的关系使用自由概率理论的算子值从属函数来描述。这些结果推广了 $P(X,Y)=X+Y$ 这一特殊情况下的已知事实。