光滑区域中随机多项式的自然边界与零点分布

我们考虑形式为 $P_n(z) = \sum_{k=0}^n a_k B_k(z)$ 的随机多项式的零点分布，其中 $\{a_k\}_{k=0}^{\infty}$ 是非平凡独立同分布复随机变量，均值为 $0$ 且方差有限。多项式 $\{B_k\}_{k=0}^{\infty}$ 选自与边界为 $C^{2, \alpha}$ 光滑的 Jordan 区域 $G$ 相关的标准基，如 Szegő、Bergman 或 Faber 多项式。我们证明 $P_n$ 的零点计数测度几乎必然收敛到 $G$ 边界上的均衡测度。我们还证明，若 $\{a_k\}_{k=0}^{\infty}$ 是独立同分布随机变量，且区域 $G$ 具有解析边界，则对于形式为 $f(z) =\sum_{k=0}^{\infty}a_k B_k(z)$ 的随机级数，$\partial{G}$ 几乎必然是 $f(z)$ 的自然边界。