关于在具有角点的区域上正交多项式的首项系数

设 $G$ 为无尖点的分段解析 Jordan 曲线的内部区域。设 $\{p_n\}_{n=0}^\infty$ 为关于面积测度在 $G$ 上正交归一的多项式序列，其中每个 $p_n$ 的首项系数 $\lambda_n>0$。N. Stylianopoulos 最近证明了当 $n\to\infty$ 时 $\lambda_n$ 的渐近行为由下式给出：$$\frac{n+1}{\pi}\frac{\gamma^{2n+2}}{ \lambda_n^{2}}=1-\alpha_n,$$ 其中当 $n\to\infty$ 时 $\alpha_n=O(1/n)$，且 $\gamma$ 是边界 $\partial G$ 对数容量的倒数。在本文中，我们通过展示一个满足 $$\liminf_{n\to\infty}\,n\alpha_n>0.$$ 的示例，证明了误差项 $\alpha_n$ 的 $O(1/n)$ 估计在一般情况下是最佳可能的。证明利用了 Faber 多项式，并据此提出了一个猜想。