具有反射不变角点的区域的 Bergman 多项式渐近性

我们研究了一类有界单连通区域 $D$ 的 Bergman 正交多项式 $(p_n)_{n=0}^{\infty}$ 的渐近行为。该类区域的定义要求将 $D$ 映射到单位圆盘的共形映射 $\varphi$ 能够解析延拓穿过 $D$ 的边界 $L$，并且 $\varphi'$ 在 $L$ 上具有有限个零点 $z_1,\ldots, z_q$。因此，边界 $L$ 是分段解析的，并在 $\varphi'$ 的零点处具有角点。Stylianopoulos 的一个结果意味着，对于外部区域 $\mathbb{C}\setminus\overline{D}$，$p_n$ 成立一个 Carleman 型强渐近公式。我们证明了相同的公式在 $L\setminus\{z_1,\ldots,z_q\}$ 上以及 $D$ 的一个最大开子集上仍然有效。由此得出，吸引 $p_n$ 零点的唯一边界点是角点。这与 $\varphi$ 无法解析延拓穿过 $L$ 的情况形成鲜明对比，因为当这种情况发生时，已知 $p_n$ 的零点计数测度会沿着适当的子序列逼近 $L$ 的平衡测度。