正交多项式的渐近行为：奇异临界情形

我们的目标是对由 Jacobi 递推系数 $a_{n}$（非对角项）和 $b_{n}$（对角项）定义的正交多项式 $P_{n}(z)$ 寻找当 $n\to\infty$ 时的渐近行为。我们考虑情形 $a_{n}\to\infty$、$b_{n}\to\infty$ 且满足 $\sum a_{n}^{-1}<\infty$（即 Carleman 条件被破坏）以及 $\gamma_{n}:=2^{-1}b_{n} (a_{n}a_{n-1})^{-1/2} \to \gamma$（当 $n\to\infty$）。在 $|\gamma | \neq 1$ 的情形，$P_{n}(z)$ 的渐近公式已知；它们关键依赖于 $| \gamma |-1$ 的符号。我们研究临界情形 $| \gamma |=1$。所获得的公式在 $|\gamma_{n}| \to 1-0$ 与 $|\gamma_{n}| \to 1+0$ 两种情形下有质的不同。本文的另一目标是倡导一种基于 Jacobi 差分方程与薛定谔（Schr"odinger）型微分方程的紧密类比来研究 $P_{n}(z)$ 渐近行为的方法。