关于具有复变四次指数权重的正交多项式的渐近机制

我们研究了首一正交多项式 $\pi_n(z)$ 在四次指数权重 $\exp[-N(\frac 12 z^2+\frac 14 tz^4)]$ 下的递推系数的渐近性，其中 $t\in {\mathbb C}$ 且 $N\in{\mathbb N}$，$N\to\infty$。我们的目标是全局描述 $t\in {\mathbb C}$ 在不同区域内的这些渐近行为。我们还描述了分隔这些区域的“破裂”曲线，并讨论了它们的特殊（临界）点。所有这些信息结合起来，提供了 $\pi_n(z)$ 递推系数的全局渐近“相图”，这在 [Constr. Approx. 41 (2015), 529-587, arXiv:1108.0321] 中曾进行过数值研究。本文的主要目标是通过相应 Riemann-Hilbert 问题 (RHP) 的非线性最速下降分析（结合 $g$-函数机制）和参数空间延拓原理，为全局渐近相图提供一个严格的框架。后者允许将非线性最速下降分析从复 $t$-平面的某些部分扩展到所有非临界 $t$ 值。我们还用 Riemann theta 函数给出了递推系数的显式解。递推系数在临界点的全缩放邻域（双重和三重缩放极限）中的主导阶行为已在 [Constr. Approx. 41 (2015), 529-587, arXiv:1108.0321] 和 [Asymptotics of complex orthogonal polynomials on the cross with varying quartic weight: critical point behaviour and the second Painlev\'e transcendents, in preparation] 中获得。