[-1,1]上具有跳跃权函数的正交多项式渐近性

我们考虑在 $[-1,1]$ 上关于权函数 $$w_c(x)=h(x)(1-x)^{\alpha}(1+x)^{\beta} \Xi_{c}(x), \quad \alpha, \beta >-1,$$ 的正交多项式，其中 $h$ 在 $[-1, 1]$ 上实解析且严格正，$\Xi_{c}$ 是一个阶梯函数：$\Xi_{c}(x)=1$ 对于 $x\in [-1, 0)$，$\Xi_{c}(x)=c^2$，$c>0$，对于 $x\in [0, 1]$。我们得到了 $\mathbb{C}$ 中首一正交多项式的强一致渐近性，以及当 $n\to \infty$ 时主要参数（正交归一多项式的前导系数和递推系数）渐近展开的前几项。特别地，我们证明了关于 $w_c$ 的 A. Magnus 关于递推系数渐近性的一个猜想。主要关注点在于原点处的局部分析。我们研究了跳跃邻域内 Christoffel-Darboux 核的渐近性，并表明正交多项式的零点不再呈现钟表行为。在渐近分析中，我们使用了 Deift 和 Zhou 的最速下降法，该方法应用于刻画正交多项式的非交换 Riemann-Hilbert 问题。在 $x=0$ 处的局部分析是通过合流超几何函数进行的。顺便地，我们建立了这些函数的一些可能具有独立意义的性质。