接吻多项式的全局相图与大度数渐近性

我们研究一类首一正交多项式族，其在区间 $[-1,1]$ 上关于变化的复值权函数 $\exp(nsz)$ 正交，其中 $s\in\mathbb{C}$ 任意。该类多项式最初在参数为纯虚数即 $s\in i \mathbb{R}$ 时见于文献，因其与高振荡积分的复高斯求积规则相关。当 $s\in i\mathbb{R}$ 时这些多项式随 $n\to\infty$ 的渐近性近期已被研究，我们的主要目标是将这些结果推广到复平面上所有 $s$。我们首先使用在可积系统理论中发展的参数空间延拓技术，将先前关于所谓修正外场的结果从虚轴扩展到复平面去掉一组称为断裂曲线的临界曲线后的区域。然后我们应用 Deift 与 Zhou 在 1990 年代发展的振荡 Riemann-Hilbert 问题的非线性最速下降法，在参数 $s$ 远离断裂曲线时获得这些多项式递推系数的渐近性。随后我们通过考虑 $s$ 趋近这些点时的双缩放极限，提供参数 $s$ 趋近断裂曲线时递推系数的分析。我们将看到递推系数行为的定性差异，取决于我们趋近的是点 $s=\pm 2$ 还是断裂曲线上的其他点。