具有递增系数的 Jacobi 算子的谱理论：临界情形

Jacobi 算子 $J$ 的谱性质与相应正交多项式 $P_{n}(z)$ 当 $n\to\infty$ 时的渐近行为密切相关。我们研究这样的情形：其非对角系数 $a_{n}$ 以及最终对角系数 $b_{n}$ 趋于无穷，使得比值 $\gamma_{n}:=2^{-1}b_{n} (a_{n}a_{n-1})^{-1/2}$ 具有有限极限 $\gamma$。在 $|\gamma | < 1$ 的情形下，$P_{n}(z)$ 的渐近公式推广了 Hermite 多项式的公式，且相应的 Jacobi 算子 $J$ 具有覆盖整个实轴的绝对连续谱。若 $|\gamma | > 1$，则算子 $J$ 的谱是离散的。我们的目标是研究临界情形 $| \gamma |=1$，例如 Laguerre 多项式所出现的情形。所获得的公式关键依赖于系数 $a_{n}$（或 $b_{n}$）的增长速率，并且在 $a_{n}\to \infty$ 快于或慢于 $n$ 的情形下具有质的不同。对于 $a_{n}$ 的快速增长，我们还必须区分 $|\gamma_{n}| \to 1-0$ 与 $|\gamma_{n}| \to 1+0$ 的情形。相应的 Jacobi 算子的谱性质在所有这些情形中都截然不同。我们的方法适用于 Jacobi 系数的任意幂次增长。