Jacobi 算子的解析散射理论及正交多项式的 Bernstein-Szegő 渐近性

我们研究半无限 Jacobi 矩阵 $H=H_{0}+V$,其对应于“自由”离散 Schrödinger 算子 $H_{0}$ 的迹类扰动 $V$。我们的目标是构造算子 $H$ 的各种谱量,例如权函数、其连续谱的本征函数、$H_{0}$ 与 $H$ 这对算子的波算子、散射矩阵、谱移位函数等。这使我们能够找到与 Jacobi 矩阵 $H$ 相关的正交多项式 $P_{n}(z)$ 当 $n\to\infty$ 时的渐近行为。特别地,我们考虑 $z$ 位于 $H_{0}$ 的谱 $[-1,1]$ 内部时该渐近性具有 Bernstein-Szegő 型的振荡特征的情形,以及 $z$ 在端点 $\pm 1$ 处的情形。