关于自伴算子绝对连续谱的一个条件及其应用

本文考虑了分析自伴算子绝对连续谱的方法。分析中使用了自伴算子 $A$ 由一列在给定区间 $[a,b\,]$ 上具有绝对连续谱的算子 $A_n$ 逼近，且该序列在稠密集上强收敛于 $A$。同时也使用了等绝对连续性的概念。找到了算子 $A$ 在有限区间 $[a,b\,]$ 上谱绝对连续性的一个充分条件，以及相应谱密度属于类 $L_p[a,b\,]$（$p\ge 1$）的条件。考虑了该方法在 Jacobi 矩阵上的应用。作为结果之一，我们得到如下断言：在某些温和假设下（详见定理 (2.4)），假设存在常数 $C>0$ 和正函数 $g(x)\in L_p[a,b\,]$（$p\ge1$），使得对所有充分大的 $n$ 和几乎全部 $x\in[a,b\,]$ 成立估计 $\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle g(x)}\le b_n(P_{n+1}^2(x)+P_{n}^2(x))\le C$，其中 $P_n(x)$ 为与 Jacobi 矩阵（按 Akhiezer 意义）相伴的第一类多项式，$b_n$ 为 Jacobi 矩阵的第二对角序列。则 Jacobi 矩阵算子在 $[a,b\,]$ 上的谱为纯绝对连续，且相应谱密度 $f(x)$ 满足 $f(x)\in L_p[a,b\,]$。