Carleman正交多项式的渐近行为与零点分布

设$L$为解析Jordan曲线，$\{p_n(z)\}_{n=0}^\infty$为在$L$内部区域上关于面积测度正交的多项式序列。Carleman的一个著名结果指出，在闭外部区域$L$的某个开邻域上，\lim_{n\to\infty}\frac{p_n(z)}{\sqrt{(n+1)/\pi} [\phi(z)]^{n}}= \phi'(z)$局部一致成立，其中$\phi$是将$L$外部共形映射到单位圆外部的典范共形映射。本文将(\ref{eq12})的有效性推广到一个最大开集，该开集的每个边界点都是$p_n$零点的聚点。讨论了零点极限分布的一些推论，并通过两个具体例子和数值计算对结果进行了说明。