正交多项式会梦见对称曲线吗？

具有解析权函数的复或非厄米正交多项式在逼近论、随机矩阵模型、理论物理以及数值分析等若干领域中无处不在。由于此类多项式的积分路径选择具有自由度，其零点的位置先验上并不明确。然而，如本文所呈现的数值实验表明，零点并非简单地在平面上某处聚集，而是持续地选择以非常规则的方式排列于某些曲线上。非厄米正交多项式的极限零点分布问题是其理论的核心方面之一。该方向已取得若干重要结果，尤其在近30年，描述这些结果是本文前一部分的目标之一。然而，一般理论远未完备，许多自然问题仍未得到解答或仅有部分解释。因此，本文的第二个动机是讨论一些由我们的数值实验所得到的、由平面上关于指数函数之和的正交条件所定义的多项式零点的“神秘”构型。在这一看似简单的情形下，这些正交多项式的零点可能表现出不同的行为：其中一些我们给出了严格结果，而另一些则作为猜想提出（显然在现代技术可及范围内）。最后，存在一些情形，我们尚不清楚如何解释数值结果，且只能进行经验性讨论。