带薄层角域中亥姆霍兹问题的任意阶渐近分析：一种代数方法

我们考虑在部分覆盖有均匀薄层（厚度记为$\varepsilon$）的角形区域中的亥姆霍兹方程。本文提出解关于$\varepsilon$的任意阶渐近展开。使用匹配渐近展开，即在三个子域（角附近、薄层和其余区域）中引入解的不同渐近展开。这些展开通过匹配条件连接。角的存在使得这些匹配条件难以推导，因为场具有奇异行为。我们的方法是将这些匹配条件纯粹代数地重新表述，将所有渐近展开写成形式级数。通过代数计算，我们将匹配条件简化为联系场奇异行为的标量关系。这些关系具有卷积结构，并涉及一些可解析计算的系数。我们的渐近展开通过误差估计得到严格证明。