平面扇形 Lipschitz 自相似穿孔的收敛展开

与著名的渐近匹配和多尺度（或复合）渐近方法不同，Lanza de Cristoforis (Analysis 28, 2008) 的“泛函分析方法”允许证明椭圆边值问题解在尺寸为 $\epsilon$ 的内部小孔周围的展开的收敛性。使用层势法，解在 $\epsilon$ 趋于零时的渐近行为不仅由 $\epsilon$ 的幂的渐近级数描述，而且由收敛的幂级数描述。这里我们使用该方法来研究 Laplace 算子的 Dirichlet 问题，其中孔洞正在张角为 $\omega$ 的多边形角点处坍缩。随后，除了尺度 $\epsilon$ 之外，还出现了尺度 $\eta = \epsilon^{\pi/\omega}$。我们证明，当 $\pi/\omega$ 是无理数时，Dirichlet 问题的解由这两个小参数的幂的收敛级数给出。由于这两个尺度的干涉，在最一般的情况下，通过将彼此非常接近的两个尺度的整数幂组合在一起来获得这种收敛性。然而，存在一个稠密的张角 $\omega$ 子集（以 Diophantine 逼近性质为特征），对于该子集，关于两个变量 $\epsilon$ 和 $\eta$ 的实解析性成立，且幂级数无条件收敛。当 $\pi/\omega$ 是有理数时，级数无条件收敛，但包含 log $\epsilon$ 的项。