多区间上的正交多项式：递推系数与零点的聚点

设 $E = \cup_{j = 1}^l [a_{2j-1},a_{2j}],$ $a_1 < a_2 < ... < a_{2l},$ $l \geq 2$ 并设 {\boldmath\omega}(\infty) =(\omega_1(\infty),...,\omega_{l-1}(\infty))，其中 $\omega_j(\infty)$ 是 $[a_{2 j - 1}, a_{2 j}]$ 在无穷远处的调和测度。设 $\mu$ 为 $E$ 上的绝对连续测度，满足 Szeg\H{o} 条件，且在 $E$ 之外至多有有限个点测度，并记 $(P_n)$ 和 $({\mathcal Q}_n)$ 为关于 $d\mu$ 的正交归一多项式及其相关的 Weyl 解，满足递推关系 $\sqrt{\lambda_{2 + n}} y_{1 + n} = (x - \alpha_{1 + n}) y_n -\sqrt{\lambda_{1 + n}} y_{-1 + n}$。我们证明递推系数在拓扑上与序列 (n {\boldmath\omega}(\infty))_{n\in \mathbb N} 模1具有相同的收敛行为；更准确地说，设 ({\boldmath\alpha}^{l-1}_{1 + n}, {\boldmath\lambda}^{l-1}_{2 + n}) = $(\alpha_{[\frac{l 1}{2}]+1+n},...,$ $\alpha_{1+n},...,$ $\alpha_{-[\frac{l-2}{2}]+1+n},$ $\lambda_{[\frac{l-2}{2}]+2+n},$ $...,\lambda_{2+n},$ $...,$ $\lambda_{-[\frac{l-1}{2}]+2+n})$，我们证明 ({\boldmath\alpha}^{l-1}_{1 + n_\nu}, {\boldmath\lambda}^{l-1}_{2 + n_\nu})_{\nu \in \mathbb N} 收敛当且仅当 (n_\nu {\boldmath\omega}(\infty))_{\nu \in \mathbb N} 模1收敛，并且我们给出了 ({\boldmath\alpha}^{l-1}_{1 + n}, {\boldmath\lambda}^{l-1}_{2 + n}) 的聚点集与 (n{\boldmath\omega}(\infty)) 模1的聚点集之间的一个显式同胚。