齐次集上正交多项式的渐近性态

设 $E$ 为一个齐次紧集，例如正长度的 Cantor 集。进一步设 $\sigma$ 为满足 $\text{supp}(\sigma)=E$ 的正测度。在 $\sigma$ 的绝对连续部分满足 Szeg\"o 型条件的假设下，我们给出关于 $\sigma$ 正交的多项式在支撑上及支撑外的渐近表示。对于 $E$ 由有限个区间组成且 $\sigma$ 无奇异部分的特例，这是 Widom 现今众所周知的结果。若 $E=[a,b]$ 则它成为 Szeg\"o 的经典结果，而若出现附加的奇异部分，则归于 Kolmogorov--Krein。事实上，结果是在更一般情形下给出的：正交测度可在 $E$ 外具有可数集的质量点，这些质量点仅累积于 $E$ 上，并且（与相伴 Stieltjes 函数的零点一起）满足自由插值 Carleson 型条件。除有限个质量点的情形外，这对单区间情形也是新的。此外，作为我们表示的副产品，我们得到正交多项式的递推系数渐近地几乎周期。换言之，与上述正交多项式相关联的 Jacobi 矩阵是具齐次谱的几乎周期 Jacobi 矩阵的单边限制的紧扰动。我们的主要工具是 Widom 型 Riemann 曲面上的特征自同构函数与形式的 Hardy 空间理论，我们也使用了某些一维 Schr\"odinger 方程散射理论的思想。