单位圆上正交多项式的系数与高阶 Szegő 定理

设 $\mu$ 为单位圆 $\partial\bbD$ 上的非平凡概率测度，$w$ 为其绝对连续部分的密度，$\alpha_n$ 为其 Verblunsky 系数，$\Phi_n$ 为其首一正交多项式。在本文中，我们用 $\alpha_n$ 计算 $\Phi_n$ 的系数。若函数 $\log w$ 属于 $L^1(d\theta)$，我们对其 Fourier 系数做同样的事。作为一个应用，我们证明若 $\alpha_n \in \ell^4$ 且 $Q(z) = \sum_{m=0}^N q_m z^m$ 是一个多项式，则令 $\bar Q(z) = \sum_{m=0}^N \bar q_m z^m$ 且 $S$ 为序列上的左移算子，我们有 $|Q(e^{i\theta})|^2 \log w(\theta) \in L^1(d\theta)$ 当且仅当 $\{\bar Q(S)\alpha\}_n \in \ell^2$。我们还研究了反序多项式 $\Phi_{n+1}^*(\mu)/\Phi_n^*(\mu)-\Phi_{n+1}^*(\nu)/\Phi_n^*(\nu)$ 的相对比值渐近性，并给出了用测度 $\mu$ 和 $\nu$ 的 Verblunsky 系数表示的该差在 $\bbD$ 的紧子集上一致收敛于零的充要条件。