单位圆上随机拟正交多项式零点的统计分布

我们考虑由递推关系 $\Phi_{k+1}(z) = z \Phi_{k} (z) - \bar{\alpha}_{k} \Phi_k^{*}(z)$（$k \geq 0$ 且 $\Phi_0=1$）定义的单位圆上的多项式。对每个 $n$，取 $\alpha_0, \alpha_1, ...,\alpha_{n-2}$ 为独立同分布随机变量，均匀分布于半径 $r < 1$ 的圆盘内，$\alpha_{n-1}$ 为另一个独立于前述变量且均匀分布于单位圆上的随机变量。上述递推关系给出一列随机拟正交多项式 $\{\Phi_n\}_{n \geq 0}$。对任意 $n$，$\Phi_n$ 的零点为单位圆上的 $n$ 个随机点。我们证明，对单位圆上任一点 $p$，$\Phi_n$ 在 $p$ 附近大小为 $O(1/n)$ 的区间内的零点分布与 $n$ 个均匀分布于单位圆上的独立随机点的分布相同（即泊松分布）。这意味着，对大 $n$，所考虑的随机拟正交多项式的零点间不存在局部关联。