多联骨牌个数的渐近下界

设 $P(n)$ 为 $n$ 个格子的多联骨牌（polyomino）个数，$\lambda$ 为 Klarner 常数，即 $\lambda=\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{P(n)}$。我们证明存在某些正数 $A,T$，使得对每个 $n$ 有 $$P(n) \ge An^{-T\log n} \lambda^n.$$ 这在一定程度上推进了著名猜想——存在正数 $C,\theta$ 使得对每个 $n$ 有 $P(n)\sim Cn^{-\theta}\lambda^n$。事实上，若我们假设另一流行猜想 $P(n)/P(n-1)$ 递增，则可去掉 $\log n$ 得到 $$P(n)\ge An^{-T}\lambda^n.$$ 除上述理论结果外，我们还通过观察可用数值下的行为，猜想某类多联骨牌（即不可构造多联骨牌）个数与 $P(n)$ 之比递减。该猜想为从上界界定 $\lambda$ 提供了一条良好途径，因为若成立，我们可推出 $$\lambda < 4.1141,$$ 这相当接近当前最佳下界 $\lambda > 4.0025$，并大幅改进当前最佳上界 $\lambda < 4.5252$。该方法仅是对函数 $P(n)$ 已知或可能性质的解析操作，而非给出多联骨牌结构的新见解。该技术几乎无需改动即可应用于其他格点动物与给定面积的自避多边形。