通过简单递推求Klarner常数的上界

Klarner和Rivest通过将多边形（polyomino）视为由相应权重赋予每个树枝（twig）的树枝序列，并研究其对应的多变量生成函数（multivariate generating function），从而证明了多边形数量的增长速率（即Klarner常数）最多为$2+2\sqrt{2}<4.83$。本短文给出一种更简洁的证明方法，即通过对上界进行递推。具体而言，我们证明了具有$n$个单元的多边形数量至多为$G(n)$，其中$G(0)=G(1)=1$，且当$n\ge 2$时，\n\n$$G(n) = 2\sum_{m=1}^{n-1} G(m)G(n-1-m).$$\n\n值得注意的是，$G(n)$在文献中具有多种组合学解释。