一种用于界定多联骨牌数量的卷积方法
组合数学
2026-05-07 v2
摘要
尽管多联骨牌增长率λ(即克拉纳常数)的已知下界已接近经验估计值4.06，但自上界方面自Klarner和Rivest(1973)的开创性工作以来几乎没有概念性进展。他们的方法基于枚举数百万个局部邻域(也称为“细枝”)，得到了λ ≤ 4.649551，后来Barequet和Shalah(2022)使用数万亿个构型将其改进为λ ≤ 4.5252。其低效之处在于，一旦确定了大量邻域集，每个多联骨牌就被表示为几乎不受限制的邻域序列。我们引入了一种基于递推的方法，约束了局部邻域的连接方式。使用一个小的卷积型递推系统，我们得到了λ ≤ 4.5238。该证明简短、自包含且可手工验证。尽管数值改进不大，但主要贡献在于方法论：用简洁的一页递推系统取代了数万亿个构型。此外，我们提出了一种新技术，用于严格界定递推增长到任意精度，适用于具有非负系数的广泛场景。所得上界甚至附带一个很好的特性：一小套参数作为该界的证书，即只需检查少量算术计算即可信任该界。
引用
@article{arxiv.2511.00461,
title = {A convolutional approach to bounding the number of polyominoes},
author = {Vuong Bui},
journal= {arXiv preprint arXiv:2511.00461},
year = {2026}
}
备注
21 pages; added an algorithm for the alternative method to singularity analysis; comments are welcome