双线性映射的增长 III：可判定性

以下增长率概念可视为联合谱半径的推广：给定一个具有非负系数的双线性映射 $*:\mathbb R^d\times\mathbb R^d\to\mathbb R^d$ 和一个非负向量 $s\in\mathbb R^d$，用 $g(n)$ 表示通过 $n-1$ 次 $*$ 运算组合 $n$ 个 $s$ 实例所得到的向量的最大可能分量。令 $\lambda$ 表示增长率 $\limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{g(n)}$。Rosenfeld 通过归约联合谱半径问题证明了检查 $\lambda\le 1$ 的问题是不可判定的。在本文中，我们利用矩阵乘法实际上是一个双线性映射这一观察，提供了一个更简单的归约。此外，我们扩展了该归约以证明，即使 $s$ 是正的，检查 $\lambda\le 1$ 仍然是不可判定的。如果对符号没有限制，我们还可以通过归约检查一对矩阵的死亡性问题来证明，检查系统是否能产生零向量的问题是不可判定的。这回答了 Rosenfeld 提出的一个问题。除此之外，我们证实了 Rosenfeld 的一个评论，即当我们引入更多双线性映射和更多起始向量时，问题不会变得更难。已知如果向量 $s$ 是严格正的，那么上极限 $\lambda$ 实际上是一个极限。然而，我们证明，当 $s$ 仅为非负时，检查极限是否存在是不可判定的。这也回答了 Rosenfeld 提出的一个问题。我们根据对应于一种称为“线性模式”的特殊结构的矩阵的对角线，给出了增长率 $\lambda$ 的一个公式。给出了极限 $\lambda$ 存在的一个条件。这实际上为 $s>0$ 时极限 $\lambda$ 的存在性提供了一个更简单的证明。该公式的一个重要推论是增长率的可计算性，...