双线性映射的增长 II：界与阶

大量关于树的问题可由如下一般设定描述：给定双线性映射 $*:\mathbb R^d\times\mathbb R^d\to\mathbb R^d$ 与向量 $s\in\mathbb R^d$，我们需要估计对 $s$ 的 $n$ 个实例施加 $n-1$ 次 $*$ 运算所得所有向量中，某一项的最大可能绝对值 $g(n)$。当 $*$ 的系数非负且 $s$ 的条目为正时，已知 $g(n)$ 遵循增长率 $\lambda=\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{g(n)}$。本文证明对此类 $*$ 与 $s$，存在非负数 $r,r'$ 与正数 $a,a'$ 使得对每个 $n$，$$a n^{-r}\lambda^n\le g(n)\le a' n^{r'}\lambda^n.$$ 在证明上界时，我们实际上也给出了证明极限 $\lambda$ 本身的另一种方法。下界通过展示 $g(n)$ 的某种次乘性形式证得。推论包括 $\lambda$ 的下界与上界，并随之给出当我们有足够大的 $n$ 对应的 $g(n)$ 值时的 $\lambda$ 的良好估计。