混合多重卷积递推序列的增长

我们考虑具有$s_0=1$且对于$n\ge 1$的序列$s_n$，其形式为：\n$$s_n=\sum_{x_1+\dots+x_{\ell_1}=n-1} \kappa_1 s_{x_1}\dots s_{x_{\ell_1}} + \dots +\sum_{x_1+\dots+x_{\ell_{t'}}=n-1} \kappa_{t'} s_{x_1}\dots s_{x_{\ell_{t'}}}+\\ \max_{x_1+\dots+x_{\ell_{t'+1}}=n-1} \kappa_{t'+1} s_{x_1}\dots s_{x_{\ell_{t'+1}}} + \dots + \max_{x_1+\dots+x_{\ell_t}=n-1} \kappa_t s_{x_1}\dots s_{x_{\ell_t}},$$\n其中$x_i$为非负整数，$\ell_1,\dots,\ell_t$为正整数，$\kappa_1,\dots,\kappa_t$为正实数。我们证明可以以任意精度计算序列$s_n$的增长率$\lambda$。特别地，对于每个$n\ge 2$，\n$$\sqrt[n]{\frac{\kappa^*}{\mathcal L(n-1) s_1} s_n} \le \lambda \le \sqrt[n]{3^{18\log 3 + 2\log\frac{s_1\mathcal L^2}{\kappa^*}} n^{3\log n + 12\log 3 + \log\frac{s_1\mathcal L^2}{\kappa^*}} s_n},$$\n其中$\mathcal L=\max_i \ell_i$，$\kappa^*=\kappa_i$当$\ell_i\ge 2$时， logarithm以$\frac{\mathcal L+1}{\mathcal L}$为底。不等式中的常数未得到很好优化，主要作为概念证明，上界与下界之比随$n$趋向infinity收敛至1。