具有马尔可夫依赖的线性随机递归的增长率

我们考虑线性随机递归 $x_{i+1} = a_{i}x_{i}+b_{i}$，其中乘数 $a_i$ 随机且由标准布朗运动的指数给出马尔可夫依赖，$b_{i}$ 为独立于 $a_{i}$ 的i.i.d.正随机噪声。利用大偏差理论，我们研究了正整数矩 $\lambda_q = \lim_{n\to \infty} \frac{1}{n} \log\mathbb{E}[(x_n)^q]$（其中 $q\in \mathbb{Z}_+$）的增长率（李雅普诺夫指数）。我们证明在模型参数的适当缩放下，李雅普诺夫指数 $\lambda_q$ 存在，并具有表现为相变的非解析行为。我们利用解析和数值方法研究了相变的性质与临界指数。