关于递归定义序列的同余性质与增长率

设 $a_1 = 1$，且对于 $n > 1$，有 $a_n = a_{n-1} + a_{\lfloor \frac{n}{2} \rfloor}$。本文将考察该序列的同余性质与增长率。首先我们将证明：若 $x \in \{1, 2, 3, 5, 6, 7 \}$，则使 $a_n \equiv x \pmod{8}$ 的自然密度存在且等于 $\frac{1}{6}$。随后我们将证明：若 $m \leq 15$ 且 $m$ 不能被 $4$ 整除，则使 $a_n$ 能被 $m$ 整除的 $n$ 的下密度严格为正。为将这些结果置于更广的背景中，我们进一步提出关于任意给定 $x$ 及任意 $m$（且 $m$ 不能被 $32$ 整除）时，使 $a_n \equiv x \pmod{m}$ 的 $n$ 的密度的一般性猜想。最后，我们将证明存在一个函数 $f$，使得对于所有 $\epsilon > 0$ 以及所有足够大的 $n$，都有 $n^{f(n)} < a_n < n^{f(n) + \epsilon}$。