某些随机树中深度的同余性质

考虑一个有 n 个顶点的随机递归树。我们证明具有偶数深度的顶点数在 n 趋于无穷时渐近正态。对深度可被 m=3、4 或 5 整除的顶点数，结论同样成立；在所有这四种情形中方差线性增长。另一方面，对 m 至少为 7，该数目不是渐近正态的，且方差较 n 线性增长更快。m=6 的情形是中间的：该数目渐近正态但方差为 n log n 阶。这是一类被其他作者在多例中观测到的相变类型的简单而引人注目的例子。我们利用向广义 Pólya 瓮的转化证明并或许解释了这一反直觉行为。类似结果对随机二叉搜索树成立；此时深度可被 m 整除的顶点数对 m 不超过 8 是渐近正态的，但对 m 至少为 9 则不是，且方差在第一种情形线性增长、在第二种情形增长更快。（不存在中间情形。）作为对比，我们证明对条件 Galton-Watson 树，包括随机标号树与随机二叉树，不存在此类相变：对每个 m 该数目都是渐近正态的。