随机递归树中高度数顶点的深度

设 $T_n$ 为具有 $n$ 个节点的随机递归树。将 $T_n$ 的顶点按度数降序排列为 $v^1,\ldots,v^n$，并记 $d^i$ 和 $h^i$ 分别为 $v^i$ 的度数及其到根的距离。我们证明，当 $n \to \infty$ 沿适当子列时，$$\bigg(d^i - \lfloor \log_2 n \rfloor, \frac{h^i - \mu\ln n}{\sqrt{\sigma^2\ln n}}\bigg) \to ((P_i,i \ge 1),(N_i,i \ge 1))\, ,$$ 其中 $\mu=1-(\log_2 e)/2$，$\sigma^2=1-(\log_2 e)/4$，$(P_i,i \ge 1)$ 是 $\mathbb{Z}$ 上的泊松点过程，$(N_i,i \ge 1)$ 是独立标准高斯随机向量。我们还进一步建立了 $T_n$ 中均匀随机顶点深度的联合正态性，这推广了单个随机顶点的情形。即使随机顶点被条件化为具有大度数，只要相应调整归一化常数，联合极限依然成立；然而，条件深度的均值和方差仍保持 $\ln n$ 的量级。我们的结果基于随机递归树与 Kingman $n$-凝聚体之间的一个简单关系；这一工具似乎在很大程度上被忽视了。