随机递归树的高度数

对于n ≥ 1，令Tₙ为顶点集[n] = {1, …, n}上的随机递归树。令deg_{Tₙ}(v)为Tₙ中顶点v的度数，即v在Tₙ中的子节点数。Devroye和Lu证明了Tₙ的最大度Δₙ几乎必然满足Δₙ/⌊log₂ n⌋ → 1；Goh和Schmutz证明了沿合适子序列Δₙ - ⌊log₂ n⌋的分布收敛性。在这项工作中，我们展示了如何使用Kingman coalescent的一个版本来获取Tₙ中度分布的更精细性质。对于任意i ∈ ℤ，令X_i^{(n)} = |{v ∈ [n] : deg_{Tₙ}(v) = ⌊log n⌋ + i}|。同时，令𝒫为ℝ上具有速率函数λ(x) = 2^{-x} · ln 2的泊松点过程。我们证明，在忽略格点效应的情况下，向量(X_i^{(n)}, i ∈ ℤ)在分布上弱收敛于(𝒫[i, i+1), i ∈ ℤ)。我们还证明了当i = i(n) → -∞缓慢时X_i^{(n)}的渐近正态性，并获得了当i(n) → ∞且i(n)/log n不太大时ℙ(Δₙ - log₂ n > i)的精确渐近式。我们的结果恢复并扩展了先前关于随机递归树中最大度和近最大度的结果。