具有指定度序列的树的渐近性质及其应用

设 $t$ 为一棵有根树，$n_i(t)$ 为 $t$ 中具有 $i$ 个子节点的节点数。$t$ 的度序列 $(n_i(t),i\geq 0)$ 满足 $\sum_{i\ge 0} n_i(t)=1+\sum_{i\ge 0} in_i(t)=|t|$，其中 $|t|$ 表示 $t$ 中的节点数。在本文中，我们在所有具有相同度序列 $\ds$ 的树中均匀采样树；我们将相应的分布记为 $`P_\ds$。设 $\ds(\kappa)=(n_i(\kappa),i\geq 0)$ 为索引为 $\kappa$ 的度序列列表，对应于大小 $\nk\to+\infty$ 的树。我们证明，在 $(\ds(\kappa),\kappa>0)$ 满足一些简单且自然的假设下，在 $`P_{\ds(\kappa)}$ 下采样的树在经 $\nk^{1/2}$ 归一化后收敛于布朗连续随机树。文中提供了一些关于 Galton--Watson 树和合并过程的应用。